روش های محاسبه بعد فرکتال
- Corolation Dimintion
بعد همبستگی یک معیار اندازه گیری ابعاد فضای اشغال شده توسط مجموعه ای از نقاط تصادفی می باشد این نقاط می تواند حاصل یک مکانیک هرج ومرج و آشوبگون و یا یک مولد اعداد تصادفی و یا یک فرکتال باشد به عنوان مثال بعد یک نقطه ۰ و یک خط ۱ و یک صفحه ۲ میباشد و این همان برداشت طبیعی ما از ابعاد است مزیت عمده این روش سرعت بالای آن می باشد.
تعریف
- Box-counting Dimension
روش شمارش مشبک یا بعد مینکوفسکی یکی از راه های تعیین بعد فرکتالی یک مجموعه نقاط در فضای اقلیدسی یا به طور کلی تر در یک فضای متریک می باشد ، برای محاسبه این بعد مجموعه نقاط در یک شبکه که به طور مساوی در تمام ابعاد تقسیم شده است قرار می گیرد و با شمارش تعداد خانه هایی که این مجموعه نقاط را پوشش می دهد محاسبه می گردد.
تعریف:
- fractal Dimension
بعد فرکتال یک مقیاس عددی برای میزان پر شدگی فضا توسط یک الگو می باشد که برای توصیف گستره وسیعی از اشیا انتزاعی و واقعی مربوط به پدیده های علمی از جمله آشوب ، رشد شهری ، نقشه ، اعداد تصادفی ، پزشکی استفاده میشود.
از مهم ترین روش های محاسبه بعد فرکتال box-counting و Corolation Dimintion می باشد.
در زیر چند نمونه اشکال فرکتال ۱ ، ۲ و ۳ بعدی به همراه بعد فرکتال آمده است.
و چند نمونه از فرکتال های طبیعی در زیر آمده است.
بعد فرکتال اعداد تصادفی
یک مولد اعداد تصادفی دنباله ای از اعداد تولید میکند که باید شرایطی را داشته باشد تا به آن یک مولد خوب اطلاق گردد و معیارها و تست های برای سنجش آن وجود دارد از جمله آزمون همبستگی ، آنتروپی ، مربع کای ،کلموگروف – سمیرنوف و آزمون های دیگر.
یک مولد تصادفی اعدادی تولید میکند که این اعداد می تواند به یک فضای متریک نگاشت شود که در نتیجه نقاطی تعریف میشود که خود نقاط فضایی را اشغال می کند پس از نظر تئوری می توان برای آن بعد در نظر گرفت در ادامه به بحث در مورد ابعاد یک مولد تصادفی و نحوه محاسبه آن می پردازیم.از معیارهای مهم اعداد تصادفی استقلال و یکنواختی در تولید اعداد می باشد.
فرض کنیم مولد تصادفی داریم که n عدد مختلف تولید میکند ، دنباله اعداد تولید شده توسط این مولد را به صورت زیر در نظر می گیریم.
اما در یک فضای m بعدی که فقط توسط نقاط مولد ساخته شده باشد دقیقا نقطه منحصر به فرد وجود دارد که احتمال اینکه مولد آنرا تولید کند است باید هر بردار دلخواه در این فضا توسط مولد تولید شود که تمام فضای m بعدی را اشغال می کند پس یک مولد تصادفی که کاملا مستقل باشد و همه اعداد مورد انتظار را تولید کند تمام فضای را اشغال میکند و دارای بعد فرکتال m می باشد و هر چه این دو معیار پایین بیاید بعد فرکتال نیز پایین می آید.
با توجه به تعریف بالا یک مولد تصادفی ایدال باید دارای بعد فرکتالm در فضای m بعدی باشد یعنی باید تمام فضای m بعدی را پوشش دهد و این معیار باید با افزایش ابعاد ثابت بماند ، پس محاسبه بعد فرکتال می تواند معیاری جهت سنجش برتری یک مواد نسبت به یک مولد دیگر باشد.
آزمون های که برای سنجش یک مواد تصادفی مورد استفاده قرار میگیرد معمولا مولد را به صورت یک بعدی و نهایتا دو بعدی مورد بررسی قرار میدهند مثلا تست همبستگی اعداد را در فضای دو بعدی مورد ارزیابی قرار می دهد لذا ممکن است دو مولد تمامی آزمون های را پاس کنند و در ارزیابی هیچ برتری نسبت به هم نداشته باشند ولی با آزمون فرکتال اختلاف آنها مشخص گردد.
در ادامه روش محاسبه بعد فرکتال یک مولد تصادفی با روش box-counting و Corolation Dimintion بررسی شده است.
- روش Corolation Dimintion
- روش box-counting
- نمودار فاز
برای محاسبه بعد فرکتال ، ابتدا برای اعداد تولید شده مجموعه نقاط در فضای m بعدی بر اساس تعریف … بدست می آید که به این نقاط را نمودار فاز مولد گویند که هر چه مولد اعداد بیشتری تولید کند نقاط فاز ، فضای بیشتری را میپوشاند و حال با استفاده از روش box-counting بعد فرکتال محاسبه میگردد.
نمودار فاز به تنهایی نمی تواند معیار مناسبی برای محاسبه بعد فرکتال باشد زیرا فقط تنوع تولید اعداد را نشان می دهد و در مورد استقلال و همچنین یکنواختی تولید اعداد اطلاعاتی به ما نمی دهد در ادامه دو روش معرفی میگردد.
- ماتریس انتقال در فضا
فرض کنیم مولد تصادفی باید n عدد مختلف تولید کند دنباله N عدد تولید شده توسط این مولد در نظر میگیریم پس این مولد مجموعه نقاط rk در فضای m بعدی تولید میکند ، تابع زیر که معرف انتقال از یک نقطه به یک نقطه دیگر در فضای m بعدی توسط این مولد تصادفی است در نظر می گیریم.
- نمودار فاز اصلاح شده
روش ماتریس انتقال نیاز به یک آرایه N به توان ۲m خانه ای دارد که با افزایش بعد و همچنین تولید اعداد بیشتر توسط مولد به سرعت بالا می رود مثلا برای یک مولد که فقط ۱۰ عدد مختلف تولید میکند محاسبه بعد فرکتال در فضای سه بعد نیاز به حافظه ۱۰۰۰۰۰۰= ۲*۳ ^۱۰ دارد که با افزایش تعداد و ابعاد به سرعت افزایش میاید در ادامه یک روش که نیاز به حافظه کمتر میباشد ارائه میگردد.
در این روش نقاط فاز rk در هر مرحله توسط یک خط مستقیم در فضای m بعدی به هم متصل میگردند و با این توجه به این که هر چه تولید مولد در تولید اعداد استقلال بیشتری داشته باشد خطوط بیشتری توسط این مولد درفضا رسم میگردد پس فضای بیشتر اشغال میگردد پس بعد فرکتال مولد بالاتر می رود ، همچنین وجود سیکل در مولد موجب میشود بعضی از خطوط تکرار گردند که دراشغال فضا تاثیری ندارد.
جهت محاسبه با این روش برای فضای m بعدی با روش مشبک در این روش باید تعداد مشبک ها در نظر گرفته شود و بعد بعد فرکتال محاسبه گردد ، هر چه تعداد مشبک بیشتر گردد دقت نیز بالاتر میرود ، لذا در این حالت یک آرایه Lm در نظر گرفته میشود که L ابعاد مشبک میباشد حال به ترتیب که نقاط فاز تولید میشود نقاطی که توسط خط واسط بین این نقاط بدست میآید در آرایه مورد نظر ۱ میگردد و بعد از شمارش این نقاط (N one ) از فرمول زیر بعد فرکتال بدست می آید.
مهم ترین نکته این روش ، مشخص نمودن نقاطی در آرایه است که حد فاصل دو نقطه فاز در فضای m بعدی است ، جهت محاسبه میتوان از الگوریتم برسنهام استفاده کرد ، این الگوریتم که در گرافیک کامپیوتری برای ترسیم خطوط استفاده میشود نقاط روی یک خط را با سرعت محاسبه میکند که میتوان جهت تعیین نقاط در آرایه مفروض استفاده گردد.
معیار ارزیابی بعد فرکتال مولد اعداد تصادفی
همانطور که اشاره شد ، بعد فرکتال معیاری جهت سنجش و ارزیابی استقلال و یکنواختی یک مولد تصادفی می باشد ولی چه لزومی به محاسبه بعد فرکتال در ابعداد بالاتر می باشد ، از نظر نتوری یک مواد تصادفی بینهایت بعد دارد لذا بین دو مولد تصادفی که هر دو تمام تست ها را پاس میکنند آن مولدی که بعد بالاتری داشته باشد قاعدتا مواد بهتری است ما میتوانیم بعد فرکتال را برای دو مولد محاسبه کنیم اگر در یک مرحله بعد فرکتال یک مولد کمتر از دیگری شد نشان دهنده برتری مولد می باشد.
یکی دیگر از کاربردهای بعد فرکتال ساختن مولد تصادفی از یک مولد می باشد ، فرض کنیم مولد یک بایتی خوبی داریم که اعداد ۰ تا ۲۵۵ را تولید میکند ، آیا میتوان با تکرار ۲ بار این مولد ، یک مولد ساخت که اعداد ۲ بایتی از ۰ تا ۶۵۵۳۵ تولید کند ؟
جواب این است که اگر مولد یک ، دارای بعد فرکتال ۲ در فضای ۲ بعدی باشد میتوان از آن برای ساخت یک مولد قوی تر استفاده کرد و نیازی به استفاده از فرمول های پیجیده تر که معمولا از ضرب اعداد بزرگ اول و همنهشتی استفاده می کنند نمی باشد ، مولدهای کوچک سرعت بالاتری دارند که میتوان با همین روش مولدهای بزرگتری ساخت.
با سلام وقتتون بخیر
من دانشجوی ارشد فرآوری امیرکبیر هستم که در حال حاضر دارم مرفولوژی ذرات رو بررسی میکنم و میخوام با استفاده از هندسه فرکتال تغییرات در شکل و اندازه ذرات رو بررسی کنم. آزمایشات من به این شکل هست که من با استفاده از مکانیزم های خردایش مختلف و همچنین تغییر در پارامتر های مختلف در این مکانیزم ها سعی دارم که شکل ذرات رو تغییر بدم و تاثیر اون رو در سایر شرایط آزمایشم ببینم که سلول فلوتاسیون هست حالا برای که از این نمونه های خرد شده با استفاده از میکروسکوپ عکسبرداری میکنم و این تصاویر رو میخوام با هندسه فرکتال بررسی کنم حالا میخوام بدونم که با چه نرم افزاری این تصاویر رو هندسه فرکتالشون رو اندازه گیری کنم . یا با استفاده از فرمول اینکار رو بکنم؟ سپاس
با سلام
طبق تعریف فرکتال می شه گفت فرکتال ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید؛ هر شکلی فرکتال خاص خود رو داره؛ محاسبه فرکتال به این راحتی ها نیست؛ سعی کنید یک تابع بنویسید تا تصویر بگیره و فرکتال محاسبه کنه؛ بنظرم این یه پایان نامه بزرگ و قدرتمند هست و نیاز به ریاضی قوی داره
با سپاس از شما بزرگوار. به امید خدا و همتی دو چندان شروع می کنم. و بیشتر از این ها مزاحم شما خواهم شد.
با سلام من میخواستم تفاوت بین الگوریتم کورولوشن و بعد فراکتال را بدونم و اینکه ایا فرمول ساده ای برای الگوریتمهای لیاپانوف و شانون وجود داره ممنونم
با سلام و پوزش بخاطر دیرکرد
کورولیشن یکی از خانواده های اصلی ابعاد فرکتال هست. در واقع خودشه یا یه پیاده سازی از اون. اولین خانواده box counting dimension بود. هدفش هم محاسبه تعداد باکس های کوچک مورد نیاز برای پوشش کل جسم فراکتالی و مقایسه نتیجه با اندازه جعبه ها در مقیاس لگاریتمی هست.
کورولیشن هم کارش شبیه همینه با کمی پیشرفتگی توی جذب مجموعه ای متراکم از نقاط . در واقع اینا یکسری فرمول های ریاضیاتی هستند که اومدن اثبات کردن.
در واقع یک روش دیگر برای محاسبه ابعاد فرکتال هست. این موضوع بر روی اجسام فرکتالی با سری های زمانی فوکوس می کنه. توجه داشته باشید که روش های مختلف محاسبه ابعاد فراکتال عموما نتایج مشابهی به دست نمی دهند به خصوص اگر شی مورد نظر شما چند فکتالی باشد
سلام من یه تصویر دارم و میخوام ازش ویژگی فرکتال رو استخراج کنم
حالا با استخراج ویژگی در اخر چی به ما میده! بعد میده! خط میده شیبش رو بدست بیاریم? چجوری باید ازش استفاده کرد به عنوان فیچر که حالا استفاده های بعدی رو روش انجام داد?
سلام و وقت بخیر دقت داشته باشید که کدهای ابعاد فراکتال که در نهایت یک سری اعداد و ارقام هست در اینترنت موجود است کافی است کمی در این خصوص جستجو کنید
سلام فرمول فرکتال چیه
سلام وقت بخیر فرمول فراکتال در اینترنت زیاد هست لطفاً سرچ کنید
سلام
وقتتون بخیر
بنده می خواستم بدونم از کجا می توانم متوجه بشوم که در تزئینات معماری اسلامی از هندسه ی فراکتال استفاده شده است یا خیر؟
با تشکر
سلام و وقت بخیر فراکتال در خیلی از ابعاد مختلفی از زندگی انسان جایگاه ویژه ای باز کرده است هر تصویری که منظم باشد ردپای فراکتال را در خود نشان می‌دهد
با سلام و تحترام خدمت شما
عذرمیخوام بنده قصد دارم ابعاد فراکتال را برای یک نمودار سیلاب که محور ایکس آن زمان و محور دیگر حجم آب هست. تعداد نقاط اندازه گیری شده حداقل 24 تا تا 96 تا است. آیا امکان محاسبه فراکتال با روش های متفاوت وجود دارد؟ اگر بله چه روشهایی را پیشنهاد میکنین که هم جدید باشد هم کارآمد؟
با سلام. تشریف بیارید پی وی
سلام وقت بخیر . من بعد فرکتال سیگنال قلب را به کمک نرم افزار متلب میخوام به دست بیارم؟ یک دنیا ممنون میشم اگر راهنمایی بفرمایین .
با سلام
تشریف بیاریو پی وی
سلام.
دمتون گرم بابت مقاله درجه 1 تون
یه سوال دارم، من میخوام ببینم کاغذ مچاله شدن دارای بعد چندم هست، همین طور که تو مقاله نوشتید کاغذ مچاله شده دارای بعد 2.5 هست من میخوام با یه آزمایش یا نظریه این مقدار بعد رو محاسبه کنم.
اگه میشه یه راهنمایی بکنید
من روش به دست آوردن فراکتال در یک بعد که به صورت خط و یا دوبعد به صورت صفحه رو تا حدودی میدونم ولی برای یک کاغذ مچاله شده رو نمیدونم چه جوری پیدا کنم....
سلام لطفا تحقیق کنید و مثل من نتایج تحقیقاتون رو برای موفقیت بقیه اینجا قرار بدید
سلام. وقت بخیر. من دانشجوی دکتری هیتم. میخواستم برای تشخیص امضا( اینکه یک امضا مربوط به کدام شخص از یک مجموعه است) در متلب از فرکتال استفاده کنم. برای اجرای فرکتال در روش katz آیا پنجره بایستی تعریف کننم؟
سلام وقت بخیر لطفاً تحقیق کنید و نتایج تغییرات رو در اینجا برای موفقیت دیگران قرار دهید